Razones y proporciones

RAZÓN

Se llama razón entre dos (o más) cantidades, a la relación de comparación que establecemos entre ellas. Cabe indicar que solo se podrán comparar cantidades de la misma naturaleza. Ahora bien, podemos comparar cantidades de diversas maneras nosotros lo haremos mediante dos operaciones: MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN, por lo cual, las razones con las que vamos a trabajar se denominarán RAZONES GEOMÉTRICAS.

La comparación se la realiza utilizando la notación de una fracción, donde el numerador y el denominador representan las cantidades a compararse. Por ejemplo:

-Anita tiene 20 años, Santi tiene 60 años.

Con estos datos podemos afirmar que Anita tiene la tercera parte de la edad de Santi o, en su defecto, que Santi tiene el triple de la edad de Anita. Todo esto se puede representar de la siguiente manera.

RAZON: $r = \frac{ANITA}{SANTI}$

Y representa:  $r = \frac{20}{60}$, lo que podemos simplificar.

Y finalmente resulta,  $r = \frac{1}{3}$, que se lee: "1 a 3".

PROPORCIÓN: se llama proporción a la igualdad entre dos o más razones de la misma naturaleza. Por ejemplo:

-A tiene €20 y B tiene €25; la razón que entre ellos se establece viene dada por:

$$r = \frac{A}{B} = \frac{€20}{€25} = \frac{4}{5}, que\, se\, lee\, '4\,a\,5' $$

-C tiene €36 y D tiene €45; la razón que entre ellos se establece viene dada por:

$$ r = \frac{C}{D} = \frac{€36}{€45} = \frac{4}{5}, que\, se \, lee \, '4\,a \,5' $$

Las cantidades son distintas en cada razón, más la relación de comparación entre ellas es la misma, por lo cual podemos igualar de la siguiente manera:

$\frac{A}{B} = \frac{C}{D} $ ó también A:B:C:D

Que define a una PROPORCION:

Se lee: “A es a B como C es a D”
Representa: “la relación entre A y B es la misma que entre C y D”.

Términos:
$$\frac{A}{B} = \frac{C}{D} ;  \qquad   A:B:C:D $$ 

A, C: antecedentes
B, D: consecuentes
A, D: extremos
B, C: medios

Algunas propiedades:

$$Dada \frac{A}{B}= \frac{C}{D},\,se\,cumple\,que:$$

$$1.\, \frac{A \pm B}{B}=\frac{C \pm D}{D}; \,o \,también \frac{A}{A\pm B}=\frac{C}{D \pm D}$$

$$2.\, \frac{A}{B} = \frac{C}{D} = \frac{E}{F} = ... =\,K, \,donde\,K = constante.$$

$$3.\frac{A+C}{B+D}=\frac{A}{B}=\frac{C}{D} $$